会員登録後に顧客にタグをつけることはここのサイトでできるのは知っているのですが、
お問い合わせフォーム送信後に顧客にタグをつけたりすることは難しいでしょうか?
お問い合わせフォーム自体は以下のように項目追加できますが、
https://shopify.dev/tutorials/customize-theme-add-fields-to-your-contact-form
おっしゃってる内容は、どちらかというと、お問い合わせに見せかけた会員登録フォームを、自作ページに貼り付けることに似てそうです。
https://shopify.dev/docs/themes/liquid/reference/tags/theme-tags/#create_customer
会員登録フォームですとhiddenでタグを挿入できそうですが、お問い合わせに会員登録が必須となるとハードルは上がると思います。