フィードフォースの小飼と申します。
例示頂いたサイトはおそらく https://antry.co.jp かと思いますが、こちらのショップではどなたかコードの書ける方が直接カレンダー描画のコードを書かれているようですね。
（view-source:https://antry.co.jp/ の18100行目あたりを見て判断しています）
おそらくショップのテーマファイルを直接編集してコードを挿入しているものと思われます（別の方法でコード挿入しているかも知れないので、間違っていそうであればどなたかご指摘お願いします）が、どの店舗が何日に休業しているかの情報も含めてコードに書かれているので、プログラムを書ける方が貴店の運営スタッフにいらっしゃらない場合はオススメ出来ない方法になると思います。
英語になってしまいますが、アプリストアにはカレンダー関連のアプリが出ているようです
https://apps.shopify.com/search?page=1&q=calendar
（日本語でも検索してみましたが、見つかりませんでした https://apps.shopify.com/search?q=%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC ）
配送日関連のアプリが多いようでご希望の機能を備えたものがあるか分からないですが、以下のアプリなどはシンプルなカレンダー描画にフォーカスしたもののように見受けられますので、私ならこの辺りから試してみると思います。
https://apps.shopify.com/the-shop-calendar
