アプリでそこまでの機能があるかは不明ですが、「配送日時指定」と捉えると、そういうカスタマイズやアプリはあります。
https://shopify.dev/tutorials/customize-theme-add-date-picker-for-delivery-dates
例えば、上記のコードに現在時間を取得して制限を課すようなJavaScriptを埋め込むことは可能だと思います。(コーディングのスキルが必要ですが。。)
あとは、フラッシュセールのアプリを応用するのも手かもしません。
https://help.shopify.com/ja/manual/sell-online/flash-sales