数量が変更されるトリガーは各テーマがどのように実装しているかによるので、テーマのコード分析が必要です。
ブラウザの開発コンソールでの調査と、テーマのダウンロードとエディタでの検索などが必要になるかと思います。
大きく分けて、カートの数量を変更した時に、Shopifyに遷移して画面がリフレッシュされる動作であれば、Liquidで対応可能ですが、JavaScriptで遷移なしに行っている場合は、カートの数量変更が反映されるJavaScriptのイベントハンドラ（onchangeなど）を特定して、そこでAjax APIを呼ぶことになるかと思います。