Wow super! Du hast es selber gefunden! 
Topic summary
Entfernung/Ausblendung der Suchleiste bzw. Lupe im Shopify-Header.
Lösung für Debut (Version 1.2.0): Per CSS lässt sich die Suche ausblenden mit:
.search-header, .site-header__search-toggle { display: none; }
Hinweis zur Implementierung: Code ans Ende der Datei assets/theme.css einfügen. Alternativ könnte die Suche ggf. im Customizer deaktiviert oder der Suchcode direkt aus dem Theme entfernt werden.
Ergebnis: Der Ansatz wurde bestätigt („hat funktioniert“). Keine weiteren Probleme gemeldet.
Update für Dawn-Theme: Nachfrage, wie die Lupe zu entfernen ist. Lösung: Eine bestimmte Codezeile löschen (die konkret betroffene Zeile ist im beigefügten Screenshot markiert). Das angehängte Bild ist zentral für das Verständnis, welche Stelle im Code gemeint ist.
Status: Problem für Debut gelöst und für Dawn mit Hinweis auf das Entfernen der markierten Zeile beantwortet; Diskussion abgeschlossen.