記載いただいたコードを、
開発ストアにて試してみました。
下図のように、年月日が顧客情報に追加されました。
(記載いただいたコードをそのまま使用いたしました。手は加えておりません。)
上記のように、「メモ」ではなく、
生年月日の項目自体が、
顧客情報に追加されて欲しい、
ということでしたでしょうか？
もし、質問者様の、Shopifyの契約が、スタンダード以上であれば、
Shopify Flowが利用できますので、
下記の株式会社リワイア様のブログで紹介されている方法で、
メタフィールドに格納し直す、ということができるようです。
https://rewired.cloud/birthday-metafields-through-shopify-flow/
ご参考まで。
(キュー田辺)