ご要望を100%満たせるかはわかりませんが、1つの方法として考えられるのは。
注文詳細画面にアクセスしていただくと、右側に連絡先情報というのがあると思います。
ここに表示されているメールアドレスを押すと、「お客様に連絡する」というフォームが表示されますので、ここのカスタムメッセージに、例えば以下のようなコードを入れると注文内容を含めることができます。
{% for line_item in order.line_items %}
{% endfor %}
| 商品名 | 数量 | 価格 |
| - | - | - |
| {{ line_item.title }} | {{ line_item.quantity }} | {{ line_item.price | money }} |
合計金額: {{ order.total_price | money }}
軽く解説をさせていただくと、 {% for line_item in order.line_items %} で注文の各明細をひとつずつ抽出し、{{ line_item.title }}で明細ごとの商品名などを表示しています。
タグでレイアウトを整えていますが、これはお好みで変えてください。1つの選択肢として、ご参考になれば幸いです。通知される際は、事前の検証を十分にされてください。