Shopify ブログの公式機能であるコメントには、マーチャントへの通知などの機能はなく、マーチャントの管理画面で確認するしかないようです。
Shopify 純正のものでなくてもよければ、Disqus というコメントプラットフォームを利用するのが良いかと思います。
これには Email Notifications（Eメールで通知を受け取る）設定があります。
https://disqus.com/
導入のためにはテーマの liquid ファイルを編集する必要があるので、もし難しければ他の方法を探す必要があるかもしれません。
英語のコミュニティフォーラムに、Disqus の詳しい導入方法がまとまっていたので、よろしければ参考になさってください。
Social media - Add Disqus to your blog - Shopify Community
（自動翻訳などで読んでも読める内容になっていると思いました）