Debutテーマで実際に試してみましたが、「1030001」でも「103-0001」と同様に、表示された項目をクリックすることで都道府県などが自動入力されました。
また、少なくともDebutテーマにはcheckout.liquidなどの関連ファイルはないと思いますので(ありましたら申し訳ありません)、仮にShopify Plusをご利用であってもDebutテーマが原因ではないと思います。
現状ではご利用の環境に原因がある可能性も考えられますので、ブラウザのキャッシュやクッキーの削除、ブラウザ自体の変更などを試されると動作するかもしれません。
他方、開発者ツールで何らかのエラーが確認できる可能性もあり、その場合はエラー内容から状況や原因がわかるかもしれません。
環境を変えても動作しない場合は、解決できるかどうかはわかりませんがShopifyのサポートに相談されることをお勧めします。