どなたかの役に立つかもしれないので今どうしようとしているか書いておきます。
自分で調べたり、kakuma-fblさんの書かれていることやリンクを見ても、メニューをAPIや一括インポートすることはできないものと考えています。
１つ試したのはテーマMega Menuです。これは比較的大きなカテゴリ表現をすることができます。
https://apps.shopify.com/globo-mega-menu
Professional版ならjsonでインポートができます。
ただ問題は、デザインは水平に並べるタイプしかなく、やってみましたが私のショップではそのデザインではメニューの表示が多数行になり、よくありませんでした。
他に良い方法も見つからないため、多分、Liquidのテンプレートにカスタムで自分のコードを差し込む形で実装しようと考えています。