私が、質問者様のご状況を把握できているか怪しいため、
意味のない回答になっているかもしれませんが、
ご容赦いただければ幸いです。
「管理ストア」は、
開発ストアではなくShopifyの有料プランを契約したストア、
を意味していると理解しました。
さらに、
ストア管理画面 > オンラインストア > 各種設定 > パスワード保護
にて、
「パスワードを使用して訪問者のアクセスを制限する」にチェックを入れている状態、
ということですね。
私が使用しているShopify CLIのバージョン(3.45.4)ですと、
shopify theme serveというコマンドはなく、
shopify theme devで、プレビューを行うため、
下記は、shopify theme devでの結果になります。
開発ストアの場合
127.0.0.1:9292 にアクセスした場合、パスワードを求められる。
{store_name}.myshopify.com/?prevew_theme_id=xxxxxxにアクセスした場合、パスワードを求められる。
パスワード保護状態の管理ストアの場合
127.0.0.1:9292 にアクセスした場合でも、パスワードを求められる。
{store_name}.myshopify.com/?prevew_theme_id=xxxxxxにアクセスした場合、パスワードを求められる。
serveとdevの違いはあるかもしれませんが、
少なくとも、
私の環境では、
開発ストアでも管理ストアでも、プレビューの開き方に関わらず、パスワードを求められました。
ですので、質問者様の環境での挙動も正しいのではないかと推測します。
しかし、
一度、パスワードを入力して、ストアにアクセスしたことがあるブラウザウィンドウで、
再度、プレビューを開くと、パスワードは求められませんでした。
もし、
質問者様が、
何度パスワードを入力しても、
プレビューを開くたびにパスワードを求められてしまう、
ということを質問されている場合、
申し訳ございません、再現できないため、回答が難しいです。
考えつくのは下記くらいしかなく。。。
(1)
現行の最新バージョンのShopify CLIでは、
コマンドが、serveではなくdevに変わっていることから、
質問者様のShopify CLIのバージョンが少し古い可能性があるので、
最新バージョンにすることで改善するかもしれない。
(2)
ブラウザのCookie, キャッシュ, セッションストレージ, ローカルストレージに何か異常があるのかもしれないので、そちらを全てクリアすると改善するかもしれない。
大した情報がなく恐縮です。
ご状況を勘違いしている可能性が高いので、
その場合は、この回答をスルーしてください。
(キュー田辺)