現在、購入情報を入力するページでは、配達方法はメール便と宅配便を選べるような仕様になっております。
そして決済方法で「代引き決済」を選んだ際に、配達方法は「宅配便のみ」を選択できるようにしたい（メール便の選択を不可にしたい）と考えています。
shopifyの管理画面上で必要な設定だったり、必要なアプリだったりがありましたら、ご教示いただけますと幸いです。
よろしくお願いいたします！
おそらく不可能です。
アプリを使ったとしても、専用のカスタムアプリを開発したとしても不可能ではないかと思います。
質問者様のご要望を実現しようと思うと、下記のShopify Functionsを使用するしかないのですが、
https://shopify.dev/docs/apps/build/functions
このShopify Functionsでは、下記のように支払方法を取得することができません。
https://shopify.dev/docs/api/functions/reference/delivery-customization/graphql/common-objects/cart
代わりの案として私が思いつくのは、
例えば、
カートページで、
支払方法を選択させ、
その情報をCart Attributesに格納する方法です。
こうすることで、
Shopify Functionsで、支払方法に応じた配達方法を制御できるようになります。
また、Shopify Functionsでは、支払方法の表示/非表示も制御できますので、
カートで選択された支払方法のみをチェックアウト画面に表示することもできます。
以下は参考です。
Cart Attributesの実装の仕方
https://unreact.jp/blog/about-cart-attrbutes
Cart Attributesを使用して配達方法を制御できそうなアプリ (※確認はしていません)
https://apps.shopify.com/hideship-hide-shipping-methods?locale=ja
Cart Attributesを使用して支払い方法を制御できそうなアプリ (※確認はしていません)
https://apps.shopify.com/hidepay?locale=ja
ご参考まで。
(キュー田辺)