お客様がストア内で商品をお気に入り登録など出来る機能はありますか？
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ストア内で顧客が商品を「お気に入り登録」できるかが主題です。想定されている機能は、Amazonの「欲しい物リスト」に近いWishlist（後で見返すための商品保存機能）として整理されています。
回答では、標準機能としての具体的な案内はなく、Shopify App Storeのwishlist系アプリを導入する方法が一般的だと示されました。あわせて、日本の会社が提供するものを含むアプリ掲載ページも共有されています。
現時点の結論は、「お気に入り登録はアプリ利用で実現する方向」です。どのアプリを選ぶべきか、費用・機能差・日本語対応などの比較はこのやり取り内では未整理で、最終的な採用判断は今後の確認事項として残っています。
お世話になっております。
ご提示の内容はいわゆるWishlist（Amazonの欲しい物リスト）のような内容ということで認識相違ないでしょうか？
それであれば、下記検索して見つかるwishlist系のアプリを使うことが一般的かと存じます。
https://apps.shopify.com/search?locale=ja&q=wishlist
ご確認のほど何卒よろしくお願いいたします。
こちらに日本の会社さんが作ったもの含めて掲載してありますので、ご確認ください。
https://apps.shopify.com/collections/improve-your-store?locale=ja